Плос­кость пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ния ци­лин­дра по па­рал­лель­ным хор­дам AD и BC. Про­ве­дем O₁M и KO, пер­пен­ди­ку­ляр­ные AD и BC со­от­вет­ствен­но, тогда AM  =  MD  =  3, BK  =  KC  =  4.

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков O₁MD и BOK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра O₁M = 4, KO = 3. Точка P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой KM с OO₁. Тре­уголь­ник POK по­до­бен тре­уголь­ни­ку PMO₁, тогда

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка POK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Из по­до­бия по­лу­ча­ем, что

Тогда

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди по­верх­но­сти

Ответ:

Про­ве­дем KO и MO₁ со­от­вет­ствен­но пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мым BC и AD. Тогда:

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KOB и MDO₁ по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра KO = MO₁ = Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка POK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Тогда OO₁ = 2PO = 2. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пло­ща­ди по­верх­но­сти

Ответ:

Пусть пря­мо­уголь­ник ABCD  — осе­вое се­че­ние ци­лин­дра. По фор­му­ле пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра где r  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а l  — сто­ро­на се­че­ния. Тогда рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник CAD. В нём и от­ку­да По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что   — диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра, зна­чит, Под­ста­вим все дан­ные в общую фор­му­лу и по­лу­чим:

Ответ:

Пусть пря­мо­уголь­ник ABCD  — осе­вое се­че­ние ци­лин­дра. По фор­му­ле пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра где r  — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра, а l  — сто­ро­на се­че­ния. Тогда рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник CAD. В нём и от­ку­да и По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Под­ста­вим все дан­ные в общую фор­му­лу и по­лу­чим:

Ответ:

Введём обо­зна­че­ния (см. рис.). Пусть AB  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC имеем

Ис­поль­зуя фор­му­лы пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка и по­лу­ча­ем

Далее найдём вы­со­ту приз­мы, ко­то­рая также яв­ля­ет­ся вы­со­той ци­лин­дра. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CAA₁ то есть Ис­поль­зуя фор­му­лу пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти ци­лин­дра имеем

Ответ:

Изоб­ра­зим дан­ный ци­линдр (см. рис).

Из ри­сун­ка видно, что вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние г) OO₁ AB.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой г).

Изоб­ра­зим дан­ный ци­линдр (см. рис).

Из ри­сун­ка видно, что вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние г) OO₁ AO.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой г).

Найдём длину AA₁ окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра:

Вер­ной развёрткой дан­но­го ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник с дли­ной AA₁, рав­ной и ши­ри­ной AB, рав­ной об­ра­зу­ю­щей, то есть 9.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой г).

Найдём длину AA₁ окруж­но­сти ос­но­ва­ния ци­лин­дра:

Вер­ной развёрткой дан­но­го ци­лин­дра яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник с дли­ной AA₁, рав­ной и ши­ри­ной AB, рав­ной об­ра­зу­ю­щей, то есть 5.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой в).

Пусть ABCD  — квад­рат, диа­го­наль AC равна Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AB = BC = CD = AD = 4. Угол AOD равен дуге AD рав­ной 60°. За­ме­тим, что тре­уголь­ник AOD рав­но­сто­рон­ний (AO = OD  — ра­ди­у­сы). Тогда ра­ди­ус ци­лин­дра равен 4.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра:

Ответ:

За­ме­тим, что угол AOD равен дуге AD рав­ной 90°. Тогда тре­уголь­ник AOD  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный (AO  =  OD  — ра­ди­у­сы). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ACD по усло­вию Тогда, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой пол­ной по­верх­но­сти ци­лин­дра

Ответ:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

По усло­вию объем шара в два раза мень­ше объ­е­ма ци­лин­дра, тогда V_шара = 8 см³. Най­дем ра­ди­ус шара:

Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра боль­ше ра­ди­у­са шара (), диа­метр шара мень­ше диа­мет­ра ци­лин­дра (). Сле­до­ва­тель­но, шар по­ме­стит­ся в ци­линдр.

Ответ: по­ме­стит­ся.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

По усло­вию объем шара в три раза мень­ше объ­е­ма ци­лин­дра, тогда V_шара = 6 см³. Най­дем ра­ди­ус шара:

Так как диа­метр шара боль­ше вы­со­ты ци­лин­дра, то шар не по­ме­стит­ся в ци­линдр.

Ответ: не по­ме­стит­ся.

Так как ци­линдр опи­сан во­круг шара, его осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся квад­рат, то есть диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен вы­со­те ци­лин­дра (2r = h). Кроме того, ра­ди­ус шара равен ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ци­лин­дра (R = r).

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­дей:

Ответ: 3:2.

Так как ци­линдр опи­сан во­круг шара, его осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся квад­рат, то есть диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен вы­со­те ци­лин­дра (2r = h). Кроме того, ра­ди­ус шара равен ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ци­лин­дра (R = r).

Найдём от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 2:3.

Пусть a  — ребро куба. Вы­ра­зим ребро через пло­щадь куба и най­дем объем:

Пусть b  — вы­со­та ци­лин­дра, тогда ра­ди­у­са ци­лин­дра равен Вы­ра­зим вы­со­ту через пло­щадь и най­дем объем:

Пусть R  — ра­ди­ус шара. Вы­ра­зим ра­ди­ус через пло­щадь и най­дем объем:

Чис­ли­те­ли объ­е­мов каж­дой фи­гу­ры равны, срав­ним зна­ме­на­те­ли:

Ответ: шар.

В тре­уголь­ник TPM впи­сан квад­рат Пусть его сто­ро­на равна

Тогда имеем

и Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки PTM и PNF. В них   — общий, а как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых NF и TM (PT  — се­ку­щая). Тогда эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны до двум углам, сле­до­ва­тель­но:

Най­дем объём ци­лин­дра:

Ответ:

В тре­уголь­ник TPM впи­сан квад­рат Пусть его сто­ро­на равна

Тогда имеем

и Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки PTM и PNF. В них   — общий, а как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых NF и TM (PT  — се­ку­щая). Тогда эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны до двум углам, сле­до­ва­тель­но:

Най­дем объём ци­лин­дра:

Ответ:

За­дан­ный ци­линдр по­лу­чит­ся при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ни­ка во­круг сто­ро­ны CD, так как в се­че­нии сто­ро­на AD удво­ит­ся и будет равна сто­ро­не CD, то есть осе­вым се­че­ни­ем будет яв­лять­ся квад­рат. Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой г).

Ответ: г).

За­дан­ный ци­линдр по­лу­чит­ся при вра­ще­нии пря­мо­уголь­ни­ка во­круг сто­ро­ны MN, так как в се­че­нии сто­ро­на NP удво­ит­ся и будет равна сто­ро­не MN, то есть осе­вым се­че­ни­ем будет яв­лять­ся квад­рат. Таким об­ра­зом, пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).

Ответ: б).